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El lenguaje, la lógica y las matemáticas están especialmente vinculadas entre sí. En este artículo trataremos de abordar este tema con un caso concreto: la paradoja de Russell.

¿Qué es una paradoja?

Etimológicamente significa «fuera de la opinión». En este artículo la emplearemos en su sentido antinómico; la RAE define antinomia como:

Contradicción entre dos principios racionales.

En un sentido técnico, una paradoja consta de dos proposiciones contrarias o incluso contradictorias a las que llegamos por un argumento aparentemente válido (Beth).

La paradoja de Epiménides

Si un cretense afirma que  “todos los cretenses son mentirosos”  se muestra una paradoja: si este hombre -cretense- dice la verdad, su enunciado es falso porque él es cretense. Por el contrario, si miente, dice la verdad (ya que él es cretense).

Lo mismo ocurriría si escribimos “este enunciado es falso”. Si se refiere a sí mismo: ¿es verdadero o falso?

La cuestión está en que estos dos enunciados parecen estar construidos de manera lógica. ¿Cómo es que los procedimientos lógicos puedan llevar a una contradicción?

La paradoja de Russell

Russell planteó una paradoja también basada en la autorreferencia. Su propósito era mostrar que las matemáticas se fundaban en la lógica.

Russell llevó a cabo este proyecto definiendo los números en términos de la noción de clase; esto es: definió los números como clases de clases (al número 2 lo definió como la clase de los pares, al número 3 como la clase de los tríos, etc.). Aquí se debe entender por «clase» un conjunto de objetos con una o más propiedades idénticas. Por ejemplo la clase de las sillas agrupa a todo el conjunto de sillas, pero la propia «clase» no es una silla. Este sería un tipo de clase que no es miembro de sí misma. Por el contrario, la clase de todas las clases sí es una clase, porque se incluye a sí misma como clase (ya que tiene las mismas propiedades que el conjunto de elementos que define).

De este modo, podemos distinguir entre clases que son miembros de ellas mismas y aquellas que no lo son. Y aquí resulta la paradoja: ¿la clase de las clases que no son miembros de ellas mismas, es un miembro de sí misma? Si lo es, entonces necesariamente no es un miembro de sí misma; si no es un miembro de sí misma, entonces necesariamente lo es.

Russell tomó esta cuestión seriamente: si el número ha de ser definido en términos de clase y si esta noción conduce a una contradicción, entonces parece que tiene que haber alguna contradicción en el número mismo, en la aritmética.

La propia respuesta de Russell a la paradoja

Para superar esta dificultad, Russell introdujo su teoría de tipos.

La idea básica de Russell era que podemos evitar el compromiso con “R”(el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos) organizando las funciones proposicionales en una jerarquía. Así es posible referirse a todos los objetos para los que una determinada condición (o predicado) es válida sólo si están todos en el mismo nivel o son del mismo «tipo».

El ejemplo anterior: “La clase de todas las sillas no es una silla”, lejos de ser verdadero, es realmente carente de significado, porque predica de un tipo lógico que no le pertenece. Se puede decir de un objeto que no es una silla, pero no de una clase de objetos; y, similarmente, lo que uno puede decir de una clase de objetos no lo puede decir de una clase de una clase de objetos. Russell creyó de esta manera prevenir la paradoja de las clases.

Mounce señala un problema de esta suposición: cuando Russell define el 2 como la clase de los pares, nunca se nos ocurre preguntarnos si tal clase existe, porque es evidente que existen pares de cosas. Pero es una característica de la serie de los números el que pueda extenderse indefinidamente. Si suponemos que hay un número finito de cosas en el universo; un millón de cosas, por ejemplo: ¿cómo podemos contar más allá de un millón? Parece, por tanto, que por muchas cosas que haya siempre seremos capaces de contar más allá de éstas. Para salvar esta dificultad, Russell emitió la proposición de que el número de objetos en el universo es infinito (es el llamado «axioma de infinitud»).

Lo que sucede con este planteamiento es que implica una suposición sobre el mundo que no es lógica, sino empírica, y, por lo tanto, aunque pueda ser cierta, sería accidental.

Conclusiones

Las paradojas resultan de una especie de  círculo vicioso. El principio del círculo vicioso establece que ninguna función proposicional puede definirse antes de especificar el ámbito de aplicación de la función. En otras palabras, antes de poder definir una función, hay que especificar exactamente los objetos a los que se aplicará la función (el dominio de la función). Esto significa que se deben evitar las totalidades ilegítimas, es decir, suponer que un conjunto de objetos solo pueden ser definidos por medio de un conjunto total.

La paradoja de Russell surge, en última instancia, de la idea de que cualquier propiedad puede utilizarse para determinar un conjunto o clase.  Tuvo una gran influencia en la lógica y matemática posterior; entre otras respuestas a esta paradoja – von Neumann, Quine, etc.- Brouwer desarrolló el intuicionismo, cuya idea básica era que no se puede afirmar la existencia de un objeto matemático a menos que se pueda definir un procedimiento para construirlo.

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Bibliografía

REAL ACADEMIA ESPAÑOLA: Diccionario de la lengua española, 23.ª ed., https://dle.rae.es/antinomia?m=form [15/11/2021]

Introducción al Tractatus de Wittgenstein- H.O.Mounce

Las paradojas de la Lógica- Evert.W. Beth

The Stanford Encyclopedia of Philosophy . Recuperado de: https://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/